Кинематика на материална точка - формули и примери за решаване на проблемите на кинематиката

В тази глава главно обсъжда методи за решаване на проблеми, в които правото на движение се изразяват в така наречените естествен начин: уравнение S = F (Т) по предварително определен път *.

* Решенията на проблемите, в които законът на движение се дава на метода за координиране, обсъдени по-късно в тази глава (§ 31).

В този случай, основните параметри, които характеризират движението на точка, но предварително определен път, са: а - разстояние от предварително определена начална позиция, и т - време.

Количество характеризиращи във всеки даден момент в посока време и скорост на движение на точка, наречена скорост (V на фиг. 192). вектор скорост е винаги насочени по допирателна към посоката, в която се движи точка. Цифровата стойност на скоростта по всяко време, изразена производно на разстояние по отношение на времето:
V = DS / DT или V = F '(T).

Ускорение от една точка в даден момент характеризира степента на промяна на скоростта. Трябва да бъде ясно разбрано, че скоростта на - вектор, и поради промяната на скоростта може да възникне по два начина: чрез цифрова стойност (абсолютна стойност) и посока.

Скоростта скорост промяна модул характеризиращ допирателната (tangensalnym) ускорение при - компонент от общото ускорение, допирателна към траекторията (виж Фигура 192 ..).

Цифровата стойност на тангенциален ускорение обикновено се определя по формулата
в = DV / DT или = F ' "(T).

Скоростта на промяна на скоростта се характеризира с центростремителната посока (нормално) ускорение на - компонент от общото ускорение А, който е насочен по нормалата към траекторията към центъра на кривината (виж Фигура 192 ..).

Цифровата стойност на нормалното ускорение се определя като цяло с формула
с = о 2 / R,
където V - скорост на модула за точка в момента;
R - радиус на кривината на траекторията на място, където има точка в момента.

Веднъж идентифицирани тангенциална и нормално ускорение лесно да определи и ускорение на (пълен точка ускорение).

Тъй допирателната и нормалната перпендикулярни една на друга, цифровата стойност на ускорението може да се определи с помощта на Питагоровата теорема:
а = SQRT (при 2 + на 2).

Посоката на вектор, може да се определи от тригонометрични отношения, една от следните формули:
грях α = с / а; защото α = в / а; TG α = цяло / в.

Но е възможно първо да се определи посоката на пълно ускорение при използване на формулата TG α = цяло / в.
и след това намерете числената стойност на:
а = цяло / грях α или = на / COS а.

Тангенциална и нормално ускорение са основните точки на кинематичните количества определяне на вида и характеристиките на точката.

Наличието на тангенциален ускорение (в ≠ 0) или отсъствие (в = 0) се определя съответно неравномерно или течливост точка.

Наличието на нормалното ускорение (по ≠ 0) или отсъствие (с = 0) определя криволинейна или праволинейно движение на точката.

точката на движението могат да бъдат класифицирани по следния начин:
а) равномерно линейна (в = 0 и = 0);
б) равномерно извити (в = 0 и ≠ 0);
в) нееднакво праволинейни (в ≠ 0 и = 0);
ж) извита неравномерно (в ≠ 0 и ≠ 0).

По този начин, движението на точката се класифицира по два начина: според степента на движение на неравномерност на външен вид и траектория.

Степента на неравности на точката определя от уравнението S = F (т), и формата на траекторията определен директно.

§ 27. праволинейно равномерно движение на точка

Ако в = 0 и = 0, тогава вектора на скоростта остава постоянно (обем = конст), т. Е. не променя абсолютната стойност или посока. Това движение се нарича равномерно праволинейно.

Уравнението на движение е еднакъв
(А) S = s0 + VT
или в конкретния случай, когато първоначалният разстояние s0 = 0,
(B) S = VT.

В уравнението (а) включва всички четири стойности на тези две променливи: S и Т, и две константи: S0 и об. Ето защо, в проблема за единни и праволинейно движение точки трябва да бъдат посочени всички три стойности.

В решаването на проблемите е необходимо, за да разберете всички определените стойности и да ги доведе до една и съща система от единици. Трябва да се отбележи, че в системата на гравитационната метрична система (технически), и модулът на кинематичните стойности SI са еднакви: на разстояние S се измерва в метри, времето т - в секунда, скорост V - м / сек.

§ 28. Единна криволинейни точка на движение

Ако в = 0 и ≠ 0, тогава модула остава непроменена скорост (точка движи равномерно), но посока се променя и точката движи curvedly. В противен случай, при равномерно движение по крива точка път е нормално ускорение насочена по нормалата към пътя и е числено равно на






с = о 2 / R,
където R - радиус на кривината на траекторията.

В конкретния случай, на точка от обиколката (или по дъгата) радиусът на кривината на траекторията на всички места за константа:
R = R = конст,
както и цифровата стойност на постоянна скорост,
с = о 2 / г = конст.

В равномерна скорост на движение цифрова стойност определя по формулата
V = (S - s0) / т или V = S / т.

Ако на мястото на вземане на пълен цикъл периферно, и е дължината път на обиколката, т.е. S = 2πr = πd (г = 2r - диаметър) .... и времето, равен на периода, т.е. т = Т. Скоростта на експресия става
V = 2πr / T = πd / T.

§ 29. равномерно ускорено точка движение

Ако векторът на = конст (тангенциален ускорение постоянна по големина и посока), след това с = 0. Това движение се нарича ravnoperemennym и ясно.

Ако единствената константа е цифровата стойност на допирателната на уравнението
в = DV / DT = F '(т) = конст,
тогава ≠ 0 и движението на точка наречен ravnoperemennym извита.

Когато | в |> 0 равномерно ускорено движение на точка се нарича. и | в |<0 - равнозамедленным.

Уравнението на равномерно ускорено движение, независимо от пътя си е на формата
(1) S = s0 + v0 т + при т 2/2.

Тук s0 - разстоянието на точката от изходното положение, при начална; v0 - начална скорост и по - тангенциалната ускорение - стойност е числено постоянни, а S и Т - променливи.

Цифровата стойност на скоростта във всяка точка от време, определен от уравнението
(2) обем при т = v0 +.

Уравнения (1) и (2) са основните формули на равномерно ускорено движение, и те съдържат шест различни стойности: три константи: s0. v0. и на три променливи: S, V, т.

Следователно, за да се реши проблема на равномерно ускорено точка движение в състоянието й трябва да се обърне най-малко четири променливи (система от две уравнения може да бъде решен само ако те съдържат две неизвестни).

Ако не са включени в две основни уравнения, например, е известно в и т, след това за удобство на решаване на такива проблеми, получени помощни формули:

В специален случай, когато първоначалният стойности s0 = 0 и v0 = 0 (равномерно ускорено движение от почивка), ние получаваме същата формула в опростена форма:
(5) а = при Т 2/2;
(6) V = на тон;
(7) S = VT / 2;
(8) S = о 2 / (2AT).

Уравнения (5) и (6) са основни, и уравненията (7) и (8) - помощно вещество.

Равномерно ускорено движение от покой, който се среща само под въздействието на гравитацията, се нарича свободно падане. За да прилага това движение с формула (5) - (8), където
в = г = 9,81 м / сек 2 ≈ 9,8 м / сек 2.

§ 30. Нередовна движението на върха на всяка траектория

§ 31. Определяне на траекторията, скоростта и ускорението на точки, ако законът на движението му е определен в координатна форма

Ако точката се движи спрямо координатна система, координатите на точката на промяна във времето. Уравненията експресиращи функционален зависимостта на координатите на движещата се точка от време, наречени уравненията на точки за движение в координатна система (вж. § 51, п. 2 в учебника Е. М. Nikitina).

Движение на точка в пространството, определено от три уравнения:
х = f1 (т);
(1) Y = f2 (т);
Z = f3 (т);

(. Фигура 203) движение на точка в равнина се определя от две уравнения:
(2) X = f1 (т);
у = f2 (т);

Системите на уравнения (1) или (2), наречени закона за движение на точка в координатна форма.

По-долу ние считаме за движение на точка в равнина, се използва така, само на системата (2).

Ако правото на движение на точката, определена в координатна форма, тогава:

а) плоска траектория на точката изразена чрез уравнението
Y = F (х),
която се образува от тези уравнения на движение след премахване време тон;

б) цифровата стойност на скоростта на точката е решен от формула
V = SQRT (VX 2 + Vy 2)
след предварително определяне на издатъците (вж. фиг. 203) ускоряване на координатните оси
VX = DX / DT и Vy = ди / DT;

в) цифрова стойност на ускорение се определя от формулата
а = SQRT (брадва 2 + AY 2)
след предварително определяне на ускорението на издатъците на координатните оси
брадва = DVX / DT и AY = DVY / DT;

ж) посоките на скорост и ускорение спрямо осите на координати се определят от тригонометрични отношенията между векторите на скорост или ускорение и техните проекции.

§ 32. метод Кинематичен за определяне на радиуса на кривината на траекторията

При решаването на много технически проблеми е необходимо да се знае, радиусът на кривината R (или 1 / R - извита) път. Ако зададете траектория уравнение, радиусът на кривината във всеки един момент може да се определи чрез диференциално смятане. С помощта на уравненията на движение на точка в координатна форма, то е възможно да се определи радиуса на кривата на траекторията на движещата се точка, без пряка проучване траектория уравнение. Определяне на радиуса на кривата на траекторията чрез уравнения на движение на точка в координатна форма нарича кинематична начин. Този метод се основава на факта, че радиусът на кривината на траекторията на движещата се точка е включена във формулата
с = о 2 / R,
изразяване на цифровата стойност на нормалното ускорение.

скорост точка V се определя по формулата
(В) V = SQRT (VX 2 + Vy 2).

ускоряване на нормалния цифровата стойност е включена в пълен експресията на точката на ускорение
а = SQRT (на 2 + 2 в),
Дето
(В) = SQRT (2 - в 2),
където квадрата на общия ускорение
(G) 2 = брадва 2 + 2 AY
и тангенциално ускорение
(D) в = DV / DT.

По този начин, ако законът на движение на точката дава с уравнението
х = f1 (т);
у = f2 (т),
при определяне на радиуса на кривата на траекторията се препоръчва следното:

1. Разнообразяване на уравнението на движение, се изразяват в проекциите на вектора на скоростта координатни оси:
VX = f1 "(т);
Vy = f2 '(т).

2. Заместването в (Ь ') на експресия VX и Vy. Намери срещу 2.

3. Диференциране тон за уравнение (б), получена директно от (Ь '), открие тангенциално ускорение на. и след това при 2.

4. Разнообразяване на второто уравнение на движение, открие експресиране на проекциите на координатните оси на вектора на ускорението
брадва = f1 '' (т) = VX ';
AY = f2 '' (т) = Vy.

5. Заместването в (г) експресия брадва и AY. намерете 2.

6. заместител в (а) на стойност от 2, и на 2, и да се намери.

7. заместване в (а) са намерени стойности V 2 и. получите радиусът на огъване R.