Как да се реши уравнението на допирателната към
§ 2. допирателна към графиката на функцията
СПРАВКА
1. тангентата към кривата в този момент се нарича крайно положение M, когато точката на пресечната по кривата приближава точка М (фиг. 196).
2. С помощта на тази дефиниция, ние откриваме, наклона на допирателната към кривата в този момент. Да предположим, че през точката на кривата представлява диаграма на непрекъсната функция в съседство на тази точка (включително точка Н), образувайки сечащ проведено с положителна посока на ъгъл (фиг. 197). Тогава триъгълник може да се намери от наклона на пресичане: В точка усилие за точка на пресичане на кривата М се завърта около точка М, където ъгъл подходи ъгълът между допирателната и положителната посока на оста В определени допирателната получи
По този начин, наклонът на допирателната към графиката на функцията е стойността на производната на функцията в точката на допиране. Това е геометричното значение на производно.
3. уравнението на допирателната към кривата в даден момент се получава от:
където - координатите на точката на контакт, - текущото положение, т.е., на координатите на всяка точка, принадлежаща на допирателната, и - .. тангента ъглов коефициент.
Упражнения с РЕШЕНИЯ
1. Създаване на уравнение на графиката на допирателната в точката с абсцисата
Решение. От кривата на ордината намерите допирна точка: След това намерете производно и се изчислява стойността си на мястото, което имаме сега, знаейки, точката (3, 3) на кривата, а наклонът на допирателната в тази точка, ние се получи желаната формула: или
2. Дана крива намери точката на своята графика, където допирателната е успоредна на линията
Решение. От допирателната е успоредна на линията на техните ъглови коефициенти са равни, т.е., следователно, Така че - .. желаната точка.
3. М парабола намерите точката, в която линия, успоредна направо на допирателната към нея
Решение. Ние определяме наклона на допирателната към параболата
Ние считаме, наклонът на линията
Tangent за парабола и това право в паралелния състояние. Следователно, техните ъглови коефициенти са от абсцисата на точката на допиране
Ординатата на точката на допиране на М уравнения изчисли това парабола (фиг. 198).
4. Виж координатите на точките, в които допирателната към параболата образува ъгъл с оста 45 °.
Решение. Намираме наклона на допирателната изготвен в желаната точка и ъгъла на оста на състоянието е 45 °, следователно, или където
Определете ордината на желаното място: желаната точка
5. В точка допирателна на кривата е наклонена спрямо хоризонталната ос под ъгъл
Решение. Намери Тъй като хипотеза т. Е .. Остава да се намери допирна точка ордината :. По този начин, се изисква точка
6. Намерете ъгълът между правата линия и парабола
Решение. Ъгълът между правата линия и кривата е ъгълът между тази линия и тангентата към кривата на мястото на тяхното пресичане. Очевидно е, че желания ъгъл нас Нека Тъй като по този начин,
7. Намерете ъгъла, под който се пресича оста параболата
Решение. Ние считаме, точката на пресичане на параболата с оста За това ние трябва да реши система от уравнения Корените на тази система: Така параболата се пресичат в точка (фигура 200.).
Сега ние откриваме наклона на допирателната към параболата в точките:
Сега се изчисли ъгълът, образуван от допирателните в точките на пресичане с оста на параболата.
8. Създаване на уравнението на допирателната към графиката в точката с абсцисата
Решение. Уравнението на допирателната към точка има форма заместване в това уравнение стойностите или получаване на
По същия начин, замествайки с уравнението на допирната точка на съответните стойности за получаване на