Как да намерите линеен оператор

1) Нека A # 8209; ортогоналната проекция на вектора за XOY равнина в обикновен триизмерното пространство. Линейността на тази трансформация следва от факта, че проекцията на вектор сумата е равна на сумата от условията на издатините и проекцията на вектор продукта от броя равна на произведението на проекциите на вектора от този номер. Ако - единичен вектор на Декартова координатна система, очевидно е, че

2) В пространството линеен оператор в база матрица е настроен

Според формулата имаме

3) основа матрица А има

Намерете матрицата на оператор в базата. Матрицата за преход. и обратен матрица. Ето защо,

Характерните уравнението на матрицата има формата

Неговите корени. Собствени вектори от следните две системи от уравнения:

Ако това - уравнението. , от които ние намираме - първата собствена посока. Когато имаме уравнение ф - вторият по собствена посока.

Нормализирането векторите. получаваме

Нека първоначална основа -. след това:

Тип матрица линейна трансформация зависи от избора на основа. Ако се вземе като основа на набор от собствени вектори, а след това матрицата на линейна трансформация отнема диагонал форма, където главния диагонал са собствените стойности. Например, в двумерен пространство на матрицата. Линеен трансформация на формата като основа.

В този пример,

5) Виж собствените стойности и собствени вектори на линейна трансформация, предварително определена матрица в някои база

Ние образува характеристика уравнението на матрица А.

Намерено собствена стойност на линейна трансформация заместим в уравнение

където - собствен вектор.

където т - всяка стойност различна от нула, реално число.