Урок - уравнението на допирателната към графиката на функцията

Кратко описание на документа:

Следваща считаме пример за изготвяне на тангентата уравнение следната схема. Предвид у функция = х 2 х = -2. Като = 2, ние откриваме, стойността на функцията на точка F (а) = F (-2) = (- 2) 2 = 4. Ние определи производно на F функция (х) = 2x. В този момент, производното е равна на F (а) = F (-2) = 2 + (-2) = - 4. За получаването на всички коефициенти на уравнението са открити и = -2, е (а) = 4, е (а) = - 4, следователно уравнението на у допирателната = 4 + (- 4) (х + 2). Опростяване на уравнението, получаваме у = -4-4h.

Следващият пример служи равнява допирателна в основата на графиката на функция у = TGX. В този момент, а = 0, F (0) = 0, F (х) = 1/2 х COS, F (0) = 1. По този начин, уравнението на допирателната е у = х.

Като обобщение на процеса на съставяне на уравнението на графиката на допирателна в точка, е под формата на един алгоритъм, който се състои от 4 стъпки:

• Представяме нотацията, а абцисата допирните точки;
• Изчислено е (а);
• Определя се от F (х) и изчислява F (а). Във формулата на допирателната уравнение у = F (а) + F (а), (х-а) и получените стойности са заместени, е (а), е (а).

Пример 1 Получаване на адреси уравнения на допирателната към графиката на функция у = 1 / х при х = 1. За да решите проблема с помощта на алгоритъма. За дадена функция в точка А на = 1, функция F (а) = - 1. Производното на функцията F (х) = 1 / х 2. В точка 1 а = производното е (а) = F (1) = 1. Използване на получените данни, тангента начертана уравнение у = -1 + (1 х), или Y = X-2.

В пример 2 е необходимо да се намери уравнението на допирателната към графиката на функция у = х 3 + 3x 2 -2x-2. Главното условие - допирателната линия и Y = -2x + 1. На първо място, ние откриваме, наклона на допирателната, равна на ъгловия коефициент Y = -2x + 1. Тъй като е (а) = - 2 за тази линия, след к = -2 и за необходимото допирателната. Намираме производно на функцията (х 3 + 3x 2 -2x-2) = 3x 2 + 6x-2. Знаейки, че е (а) = - 2 откриваме координатите на точка 3а-6а + 2 2 = -2. Решаване на уравнение, ние получаваме а1 = 0, а2 = -2. Използване на получените координати, уравнението на допирателната може да се намери чрез използване на известен алгоритъм. Намираме стойността на функцията на точки е (а1) = - 2, F (а2) = - 18. Стойността на производно на F точка (а1) = F (а2) = - 2. Заместващите резултати в уравнението на стойностите на допирателната, ние получаваме за първата точка а1 = 0, Y = -2x-2, и за втория етап а2 = -2 допирателна уравнение у = -2x-22.

Пример 3 описва получаването на уравнението на допирателната да го извършва в точката (0, 3) на графиката на у = √x. Решението се взема от познат алгоритъм. Точката на докосване има координати х = А, където> 0. Стойността на функцията на F в точка (а) = √x. Производното на F функция (х) = 1 / 2√h, така че в тази точка е (а) = 1 / 2√a. Заместването всички стойности, получени в уравнението на допирателната получи √a + у = (х-а) / 2√a. Трансформиране уравнение, ние получаваме Y = X / 2√a √a + / 2. Знаейки, че тангентата преминава през точката (0, 3), откриваме, че стойността на. И разберете √a = 3/2. Следователно √a = 6, а = 36. Намираме уравнението на допирателната Y = X / 12 + 3. Фигурата е графика на функцията и изграждането на необходимата допирателната.

Учениците припомнят приблизително равенство δy = ≈f (х) δxi е (х + δx) -f (х) ≈f (х) δx. Ако приемем, х = А, X + δx = х, δx = х-а, ние получаваме е (х) - е (а) ≈f (а), (х-а), следователно е (х) ≈f (а) + е (а) (х-а).

В пример 4, е необходимо да се намери приблизителна стойност на експресията 2.003 6. Тъй като е необходимо да се намери стойността на функцията F (х) = х 6 в точката х = 2.003, ние можем да използваме добре познати формула, като е (х) = х = 6 и 2, F ( а) = F (2) = 64, е (х) = 6x 5. производно в точка е (2) = 192. Затова 2.003 6 ≈65-192 · 0003. Чрез изчисляване на израза, получаваме 2,003 6 ≈64,576.

Знаем, че ако точка M (а; е (а)) (хм координира и Aeff на а) принадлежи към графиката на функция у = F (х), и ако в този момент на графиката на функцията може да се направи допирателна не е перпендикулярна на оста абсциса, наклонът на допирателната е равна на F '(а) (EFF бар от а).

Да предположим, че функция у = F (х) и точка М (а; е (а)), добре известно, че F '(а). Ние изграждане на уравнението на допирателната към функцията графика дадени в дадена точка. Това уравнение, като Уравнение всяка линия не успоредна на оста на ординатата има форма Y = KX + m (у равно на X плюс ка цт), така че предизвикателството е да се намерят стойностите на коефициентите к и т. (Ка и цт)

Ъглов коефициент к = F '(а). За изчисляване на стойностите на т ние използваме факта, че желаната линия минава през точка M (а; е (а)). Това означава, че ако се замени координати на точка М в уравнението на линията, получи правилния уравнение: е (а) = ка + т, където ние откриваме, че m = е (а) - ка.

Остава да бъде заменен получените стойности на коефициенти к и MW уравнението на линията:

у = KX + (е (а) -ka);

Ние получава уравнението на допирателната към графиката на у = е (х) при х = а.

Ако, например, у = 2 и х = 2 (т.е., = -2), след това е (а) = F (-2) = (-2) 2 = 4; F '(х) = 2, тогава е "(а) = F" (- 2) = 2 + (-2) = -4. (Ef от четирите, както и, EF бар на X X е равно на две, тогава EFF бар както и от минус четири)

Заместването резултати в уравнение стойности А = -2, F (а) = 4, F '(а) = -4, получаваме: у = 4 + (- 4) (х + 2), т.е. у = -4Н-4.

(Y е равно на X минус четири или минус четири)

Построява уравнението на допирателната към графиката на функция у = TGX (у е равно на допирателната на X) в основата. Ние имаме: а = 0, F (0) = tg0 = 0;

F '(х) =. Това означава, F '(0) = л. Заместващите резултати в уравнение стойностите на а = 0, F (а) = 0, F '(а) = 1, получаваме: у = х.

Ние обобщава стъпките за намиране на уравнението на допирателната към графиката на функцията на точка X от алгоритъм.

Алгоритъм уравнение допирателна към графиката на функция у = F (х):

1) означава абсцисата на точката на допиране с буквата А.

2) Изчислява е (а).

3) Виж F '(х) и се изчислява F' (а).

Пример 1. Създаване на уравнението на допирателната към графиката на функция у = - на

Решение. Ние използваме алгоритъма, имайки предвид, че в този пример,

2) е (а) = F (1) = - = -1

3) F '(х) =; F '(а) = F "(1) = 1.

4) Заместването резултати три номера: а = 1, F (а) = -1, F '(а) = 1 във формула. Получаване -1+ у = (х-1), у = х-2.

Отговор: Y = X-2.

Пример 2 е дадена функция у = х 3 + 3x 2 -2x-2. Запишете уравнение на допирателната към графиката на функция е у = (х), успоредно на линията Y = права -2x + 1.

Като се използва алгоритъма на уравнение изготвянето допирателна вземе предвид, че в този пример, е (х) = х 3 + 3x 2 -2x-2. но тя не е в списъка на абсцисата на точката на докосване.

Ние започваме да се говори по този начин. Предпочитан трябва да бъде успоредна на допирателната линия у = -2x + 1. А успоредни линии имат равни ъглови цени. Следователно, наклонът на допирателната е равен на наклона на даден ред: kkas. = -2. Hokkas. = F '(а). Така стойността и можем да намерите уравнение F "(а) = -2.

От уравнение F "(A) = -2, т.е. 3а, 6а-2 + 2 = -2 намери а1 = 0, а2 = -2. Така че, има две допирателни, които отговарят задача: един в точката с абсциса 0, а другата в точката с абсциса -2.

Сега е възможно да се управляват в съответствие с алгоритъма.

2) е (а1) = 3 + 0 · 0 2 3 -2 ∙ 0-2 = -2; F (а2) = (- 2) 3 + 3 + (-2) · 2 -2 (-2) -2 = 6;

4) Заместването стойности A1 = 0, F (а1) = -2, F '(а1) = -2 във формулата, ние получаваме:

Заместване на стойностите А2 = -2, F (а2) = 6, F '(а2) = -2 във формулата, ние получаваме:

Отговор: у = -2x-2, у = -2x + 2.

Пример 3. От точка (0, 3) на допирателната към графиката на функцията = у. Решение. Ние използваме алгоритъма изготвянето допирателна уравнение има предвид, че в този пример, е (х) =. Имайте предвид, че тук, както в пример 2, абсцисата не е изрично посочено допирна точка. Въпреки това, ние сме в качеството на алгоритъма.

1) Нека х = а - абсцисата на точката на допиране; ясно е, че> 0.

3) F '(х) = ()' =; F '(а) =.

4) Заместването стойностите на, е (а) =. F '(A) = формула

Y = е (а) + F '(а), (х-а). получаваме:

Чрез допирателна състояние преминава през точката (0, 3). Заместването стойностите в уравнение х = 0, Y = 3, ние получаваме: = 3. и допълнително = 6, а = 36.

Както можете да видите в този пример, само четвъртата стъпка на алгоритъма успяхме да намерим абсцисата на точката на докосване. Заместването на стойността на а = 36 в уравнението, получаваме: у = + 3

Фиг. 1 показва геометрична илюстрация на горния пример: построена от графиката на Y =, правата у = 3.

Знаем, че за функция у = е (х), с производно на точката X, следните приблизителни уравнение: δyf '(х) δx (делта у приблизително равна EF лента на X, умножена по делта X)

или повече, е (х + δx) -f (х) е '(х) δx (Aeff на X плюс делта X от X минус EFF EFF е приблизително равна на лентата на X от делта X).

За удобство на по-нататъшно обсъждане променим нотация:

пишем вместо х,

вместо х запис х + δxbudem

пишем х вместо бн.

След това написано по-горе приблизителното уравнение става:

е (х) е (а) + F '(а), (х-а). (X EFF приблизително равен EFF EFF на плюс удар на, умножена с разликата между Xs и).

Пример 4. Виж приблизителната стойност на цифровата експресия 2.003 6.

Решение. Това е въпрос на намиране на стойностите на функцията Y = х 6 при х = 2.003. Използвайте формула F (х) е (а) + F '(а), (Ха), като се има предвид, че в този пример, е (х) = х 6. = 2, е (а) = F (2) = 2 юни = 64; = 2,003 х, F '(х) = 6x 5 и следователно, F' (а) = F "(2) = 2 6 х 5 = 192.

В резултат на това, ние получаваме:

2,003 6 64 + 192 · 0003, т.е. 2,003 6 = 64,576.

Ако използваме калкулатор, получаваме:

2,003 6 = 64,5781643.

Както можете да видите, точността на сближаване е доста приемливо.

Отговор: 2003 6 = 64,576.