Образът на линейния ядрото 1

Начин на линеен оператор е съвкупност от всички носители на формата. Ако. изображението е подмножество на. Или си Номинираният.

Ако - Тогава операторът. където - основа на пространството.

Ядрото на линейния оператор - е съвкупност от тези. за кого. Ядрото на оператора на линейна (посочено) - подпространство. Полезно е да бъде в състояние да намери ядките и образи на линейни оператори, техните размери (дефект и в ранг).

Цел 3.2. Намерете образа на ядрото, ранг и оператор дефект (двойно-вектор умножение оператора) на.

Решение. Ние приемаме, че сме видели в линейността на оператора.

Изчисляването на изображението. Вземете стандартната основа на пространството. , ние откриваме

.

Изчисляване на ядрото. Да. Това означава, че или

Следователно, когато. С други думи. и дефекта.

(В нашия пример. Но това не е общо правило). Това е възможно да се използва формулата за двойно кръстосано продукт. Но решението е малко вероятно да бъде опростена, като този.

Обикновено, намиране на ядрото в крайна сметка намалява до решаване на система за линейни уравнения за хомогенни координати на случаен вектор ядрото. В примера, който се обмисля, тази система се оказа много проста

което ни позволи веднага да напише общото решение.

Матрицата на линеен оператор в базите данни.

Бъдете сигурни, за да научите как да се изгради една матрица на линеен оператор в базите данни. Но, различна от тази, за пореден път обръщаме внимание на следната теорема: всеки линеен оператор може да бъде еднозначно определя от неговите ценности на всяка основа на пространството. Тази теорема ни дава възможност за изграждане на различни примери на оператори, които отговарят на предварително определени свойства.

Цел 3.3. За всеки от следните условия изгради примера на линеен оператор:

1. .
2. .
3. .
4. . къде.
5. В качеството на идентичността, но.
6. Всеки взема но.

Решение. 1. Вземете който и да е основа инча например, стандартна

.

Тъй като. след това от състоянието. За определеност вземем. Ние определяме въз основа, както следва:

Тези условия линеен оператор е напълно определена.

Ако това е нашата дефиниция

Лесно е да се види, че.

- Тя е съвкупност от тези. за кого. т.е..

6. Тъй като е необходимо да се конструира линеен оператор. че всяка прехвърли, но. тогава можем да приемем, че системата е линейно независими, и следователно е в основата. Ние определяме въз основа, както следва:

Можете да проверите, че по този начин въвежда operatorm е линейна и отговаря на необходимите условия.