Матрица на линеен оператор в различни бази

линейна матрица оператор се променя при промяна на базата на линейния пространство. Намираме връзката между матриците на оператора на линеен в различни бази на вектор пространство.

Теорема 5.8 (на матрица свързване на оператор линеен в различни бази). Да. - бази в линеен пространство. Матрицата и оператор в базите. свързани с

където - преходния матрица от основата на основа.

# 9633; Нека векторите в базите. съответства на векторите на колоните. на вектор колона вектори. След това, от матрицата (5.1), ние имаме

където матрицата на линеен оператор в базите. ,

Освен това, ако има преход матрица на к. като се използва формулата на координатна трансформация при прехода от основата към основата, получаваме

което означава, валидността на равенство (5.2). # 9632;

Теорема 5.9. Най-определящ фактор на матрицата на линеен оператор не зависи от избора на основа.

# 9633; Да предположим, че в базите. Той има съответна матрица. След това въз основа на (5.2) и факторите, определящи свойствата имаме

Според теорема 5.9 чрез промяна на базата на линейна пространство варира матрица оператор, и детерминанта, обаче, остава непроменена. Така че, този фактор не се характеризира с специфичен матричен на оператора в тази база, и на оператора. Това ни дава възможност да се въведе следното определение.

определение 5.7.Opredelitelem на линеен оператор. действа в линейна пространство се нарича фактор на матрицата на оператора във всяка база.

Теорема 5.10. Място линеен оператор съвпада с ранга на матрицата на оператора.

Пример 5.1. Напиши матрицата на линеен оператор. предварително определена съгласно правилото

Намери клас изображение, основната дефекта и да служат за база на ядрото.

Решение. Намираме образите на вектори:

За съставяне на матрица на линеен оператор в базисни вектори откриваме разширителни коефициентите на базисни вектори. За да направите това, трябва да се реши на система от уравнения (вж. Определението на линейна матрица оператор)

Всяка от уравнения на системата да реши отделно. Първото уравнение може да бъде пренаписана, както

Решаването на това уравнение, ние получаваме колона векторни координатите на вектора в основата на:

Решаването на уравнения, подобни на другите две, ние получаваме координатите колона вектори вектори в основата на:

В резултат на матрицата на линеен оператор в основата на формата

За да намерите линия на ядрото е необходимо за решаване на хомогенна система от уравнения с матрицата. Намирането на нейното общо решение, ние получаваме ядрото на оператора, като всеки вектор има формата

Очевидно е, че размера на ядрото (дефекта) е

основа вектор в ядрото - вектор колона

Размерът на изображението на оператор (ранг на оператор) е

За да намерите изображението въз основа на изследване на системата на линейна зависимост на вектори и определяне на максималната системата за линейно независими вектори. Състав на матрицата, и го даде на пристъпи форма (в резултат на елементарни трансформации на колони с номера са се променили):

От формата на стъпаловидна матрица, които формират основата на векторите на изображението.