линейна алгебра

При един линеен пространство и. Правилото, с което всеки елемент получава уникален елемент, наречен оператор. действа в линейни пространства. В резултат на действията на оператора на елемент или номинирания. Ако елементите, свързани с отношението, наречен образ на елемента; елемент прототип елемент.

Множеството от елементи на линеен пространство, за които действие на оператора, наречен домен на оператора и етикета.

Множеството елементи на линеен пространство, които са снимки на елементи от областта на оператора, операторът нарича изображението и етикета. Ако и след това.

Оператор в линейно пространство се нарича линеен оператор. ако по някаква и за всеки номер.

Ако пространството и същ, тогава ние казваме, че операторът действа в пространството. В това, което следва, ние считаме, линейни оператори в линейна пространство.

Linear оператор и неговата матрица. Преходът към друга база

Помислете за линеен оператор в краен тримерно пространство, и нека всеки инч Да означим изображенията на базисни вектори.

чиито колони са координатите на изображенията на базисни вектори, наречен матрицата на линеен оператор в дадена основа.

Доказано е, че всеки линеен оператор действа в п двумерен вектор пространство съответства на уникален квадратна матрица на за п; и обратно всяка квадратна матрица на за п определя един линеен оператор на това място. При това съотношение

от една страна, координатите свързани с координати на изображението на изображението на обратен, от друга страна, описват действието на, предварително определена матрица.

Когато промяната на база матрица на пространството за вектор очевидно е променило. В пространството е имало промяна от изходното ниво до основната линия. Комуникацията между матрицата и в основата на тази матрица в основата определя по формулата.

Тук преход матрица от основата на основа и обратното.

Пример 1. Матрица оператор в нова основа.

Изображението и линейната ядрото

Помислете за линеен оператор в краен тримерно пространство. Ние доказваме, че линейната линеен оператор пространство. Размер на изображението на даден оператор на линеен се нарича ранг на оператора. посочено.

Ядрото на линейния оператор е набор от елементи, чийто образ е нулев елемент. обърнете се към ядрото :. Ядрото на линейния линеен оператор пространство; измерение на линейния оператор, наречен defektomoperatora ядро. определен :.

За линеен оператор действа в п двумерен линеен пространство, следните твърдения са верни:

сумата от ранга и дефекта на оператора е равна на размера на пространството, в което операторът е валидна :;

Място оператор е равен на ранга на матрицата;

ядрото е набор от линеен хомогенна система за вземане на матрицата, измерението на разтвор пространство на системния оператор е дефект и основен система на решения е в основата на ядрото на оператора;

колони в Мала оператор база матрица формират основата на изображението на оператора.

Тези твърдения ни позволяват да се опише структурата на изображението и ядрото на линейния оператор, даден от матрицата, използвайки езика на матрични преобразувания и общата теория на линейни системи.

Пример 2. изображението и линеен ядрото.

Собствените стойности и собствени вектори на линеен оператор

Нека линеен оператор по линеен пространство.

Броят се нарича собствена стойност. и ненулев вектор съответстващ собствен вектор на линеен оператор, ако те са свързани.

Нека матрицата на оператора в някакво основание.

Собствените стойности и съответните собствени вектори са свързани, където матрицата на идентичност и елемент нула пространство. Това означава, че е собствен вектор ненулева линеен хомогенен разтвор система, която съществува, ако и само ако. Следователно, собствените стойности на линеен оператор може да се изчисли като корените на уравнението и собствените вектори - като разтворите на съответните хомогенни системи.

Уравнението се нарича характеристика уравнението на оператора, и полином характеристика полином на оператора.

За собствени стойности и собствени на линеен оператор следните твърдения са верни:

характеристика полином оператор действа в п-тримерно пространство е линейна полином на п-та степен относителна;

линеен оператор в N-двумерен линеен пространство не повече различни собствени стойности;

собствени вектори, съответстващи на различните собствени стойности са линейно независими;

ако линеен оператор в п двумерен вектор пространство, има различни собствени стойности, собствените вектори формират основата на пространството; тази основа се нарича основа на собствената си оператор;

матрица в основа на собствените вектори има диагонал форма на собствените стойности по диагонала.

Пример 3. собствените стойности и собствен вектор на оператора.