квадратно уравнение
Предизвикателства за квадратно уравнение и изучавани в учебната програма и в университетите. При тях се разбере уравненията на форма А * х ^ 2 + б * х + с = 0, където х - променлива, а, б, в - константи; а<>0. Проблемът е да се намери корените на уравнението.
Геометричната смисъла на квадратното уравнение
Графиката на функцията, която е представена от квадратно уравнение е парабола. Solutions (корени) на квадратното уравнение - това е точката на пресичане на параболата с хоризонтална ос (х). От това следва, че има три възможни случаи:
1) парабола има точки на пресичане с оста на абсцисата. Това означава, че тя е в топ клоните самолетни нагоре или по-надолу с клони. В такива случаи, квадратното уравнение има реални корени (не, че има две комплексни корени).
2) парабола има точка на пресичане с оста х. Тази точка се нарича връх на параболата и квадратно уравнение в него придобива своята минимална или максимална стойност. В този случай, квадратното уравнение има един реален корен (или две от един и същи корен).
3) Последният случай на практика повече от интересно - има две точки на пресичане на парабола с абсцисата. Това означава, че има два реални корени на уравнението.
Въз основа на анализа на коефициентите на правомощията на променливите, можете да направите интересни изводи за поставянето на параболата.
1) Ако съотношението е по-голяма от нула и клоновете на парабола, насочени нагоре, ако отрицателен - клоновете на параболата надолу.
2) Ако коефициентът В е по-голяма от нула след това върха на параболата се намира в лявата полуравнина, ако отрицателна стойност - тогава отдясно.
Определяне на формула за решаване на квадратно уравнение
Прехвърляме константа на квадратното уравнение
за знака за равенство, ние получаваме израз
Увеличаването двете страни с 4а
За да получите пълен площад в ляво, за да добавите от двете страни на б ^ 2 и реализация на трансформацията
Формулата и дискриминантата на квадратно уравнение корен
Дискриминантен нарича стойност radicand Ако е положителен, то уравнението има две реални корени, изчислени по формулата С нула дискриминантен на квадратното уравнение има един разтвор (два съвпада корен), който се получава лесно от горната формула, когато D = 0 При отрицателни дискриминантен уравнение реални корени имат , Въпреки isuyut разтвори на квадратното уравнение в комплекс равнина, и тяхната стойност се изчислява по формулата
теорема на Vieta
Да разгледаме две корените на квадратното уравнение и изграждане на квадратно уравнение въз основа на тях. С вписването лесно следва теоремата на Място: ако имаме квадратно уравнение от вида на сумата от корените е равен на коефициента на стр. взети с обратен знак, и продукта от корените на уравнението е свободен summand р. Формулата на гореизложеното, записът ще бъде под формата Ако класически уравнението постоянна и различна от нула, е необходимо да се раздели всички уравнението, и след това се прилага теоремата на Място.
квадратно уравнение график факторинг
Нека натоварен със задачата да разширите квадратно уравнение е факторинг. За нейното изпълнение, първо да решим уравнението (намери корените). Освен това, корените намерени заместител във формулата на квадратно уравнение разлагане Този проблем ще бъде решен.
Предизвикателства за квадратно уравнение
Задача 1. Намерете корените на квадратното уравнение
Решение: Пишем коефициентите и заместител дискриминантен формула
Коренът на тази стойност е равна на 14. че е лесно да се намери с калкулатор или да помните честата употреба, но за удобство, в края на тази статия, аз ще ви дам списък от квадратите на номера, които често могат да възникнат с такива проблеми.
Получената стойност е заместен в формула корени
и да получите
Задача 2. Решете уравнението
Решение: Ние имаме пълно квадратно уравнение, ние напишете коефициентите и намерете дискриминантата
Известни формули, които намираме корените на квадратно уравнение
Задача 3. Решаване на уравнението
Решение: Ние имаме пълно квадратно уравнение. дефинираме дискриминантата
Имаме случай, когато корените са едни и същи. Намираме стойностите на корените с формула
Задача 4. Решете уравнението
Решение: В случаите, когато има малки коефициенти на х е препоръчително да се прилага теоремата на Vieta. В своето състояние, ние получаваме две уравнения
На второто условие, ние откриваме, че продуктът трябва да бъде равна на -6. Това означава, че един от негативните корените. Имаме следния възможно няколко решения. Като се има предвид първото условие, втори чифт решения отхвърли.
Корените на уравнението са равни
Задача 5. Намерете дължините на страните на правоъгълник, ако периметъра му е 18 см, а площта от 77 см 2.
Решение: Половината от периметъра на правоъгълник е равна на сумата от съседни страни. Нека х - голяма страна, а след това 18-х долна страна за това. Площта на правоъгълник е продукт на тези дължини:
х (18-х) = 77;
или
-18h х 2 + 77 = 0.
Намираме дискриминантата на уравнението
Изчисляваме корени
Ако X = 11. След 18 х = 7. обратното е вярно (ако х = 7. След 21 х = 9).
Задача 6. разлагат квадратен 10х -11x + 2 = 0 Уравнение 3 factorizations.
Решение: Ние изчисляваме корените на уравнението, за да откриете, че дискриминантата
Заместването стойността намерени в корените на формулата и да се изчисли
Ние прилага формулата за разширяване на корените на квадратно уравнение
Откриване на скобите получаваме идентичността.
Квадратно уравнение с параметър
Пример 1. За кои стойности на параметър. уравнение (а-3) х 2 + (3-а) X 1/4 = 0 е корен на?
Решение: Директен заместване на стойностите на а = 3 виждаме, че тя няма решение. На следващо място, ние използваме факта, че уравнението на нула дискриминантен има един корен кратност 2. Пишем дискриминантен
Ние го опрости и се равняват на нула
Получени квадратно уравнение за параметър. решение, което е лесно да се кача на Vieta теорема. корени сума е равна на 7 и продукта им е 12. просто търсене установено, че броят 3.4 ще бъде корените на уравнението. Тъй като разтвор А на = 3, ние вече отхвърли в началото на изчислението, то е само прав - а = 4. По този начин, когато а = 4 уравнението има един корен.
Пример 2. За кои стойности на параметър. и уравнение (а + 3) х 2 + (2а + 6) х-9-3a = 0 има повече от един корен?
Решение: Ние първо разглежда специалните условия, те са стойностите на а = 0 и А = -3. Когато а = 0, уравнението се опростява до формата 6x-9 = 0; х = 3/2 и е един корен. Когато а = 0 получаваме идентичността -3 = 0.
Изчисляваме дискриминантата
и да намерят стойностите и в която тя е положителна
С първото условие, ние се получи> 3. За да намерите втория дискриминантата и корените
Определяне на интервалите, когато функцията отнема положителни стойности. Чрез заместване на точка а = 0 получаваме 3> 0. Така че, след периода (-3; 1/3) отрицателен функция. Да не забравяме и за точка А = 0. които следва да се заличи, тъй като оригиналното уравнение има един корен.
В резултат на това, ние получаваме два интервала, които отговарят на условията на проблема
Подобни проблеми в практиката ще бъдат много, опитайте се да се справят със задачите, сами по себе си и не забравяйте да се вземат предвид условията, които са взаимно изключващи се. Един добър поглед към формулата за решаване на квадратно уравнение, те са доста често се изисква в изчисленията в различните задачи и науки.