Ковариация и корелация

Колко често сте чували твърденията, който гласи, че едно явление е свързано с другото?

"Високият темп на растеж се свързва с по-добро образование и щастие, утвърдени експерти Галъп социологическо услуга."

"Цената на петрола е свързан с валутния курс."

"Болката в мускулите след тренировка не е свързана с хипертрофия на мускулните влакна."

Един получава впечатлението, че понятието "корелация" е широко използван не само в областта на науката, но и в ежедневието. Корелацията отразява степента на линейна връзка между две случайно. Например, когато цените на петрола започват да падат, курса на долара спрямо рублата започва да расте.

От всички по-горе може да се заключи, че в описанието на двуизмерни случайни величини не е достатъчно добре известни такива характеристики, като очакване, дисперсията, стандартното отклонение на. Така че това често се използва, за да опише тях са две много важни характеристики: ковариация и корелация.

Ковариация $ CoV \ ляв (X, \ Y \ дясно) $ случайни променливи $ X $ и $ Y $ е математическото очакване на продукта на случайни променливи $ XM \ напуснали (X \ вдясно) $ и $ YM \ наляво (Y \ вдясно) $ , който е:

Той е удобен за изчисляване на ковариация на случайни променливи $ X $ и $ Y $ по следната формула:

който може да бъде получен от първата формула, като се използват свойствата на очакването. Списък на основните свойства на ковариация.

1. ковариация случайна променлива с себе си е неговата дисперсия.

2. ковариация е симетрична.

$$ CoV \ наляво (X \ Y \ дясно) = CoV \ наляво (Y \ Х \ дясно). $$

3. Ако случайни променливи $ X $ $ Y $ и независима, тогава:

4. постоянен фактор може да бъде взето в знак на ковариация.

$$ CoV \ наляво (CX \ Y \ дясно) = CoV \ наляво (X \ Су \ полето) = C \ cdot CoV \ наляво (X \ Y \ дясно). $$

5. ковариация не се промени, ако един от случайни променливи (или два веднага) се добавят постоянно количество:

$$ CoV \ наляво (X + C \ Y \ дясно) = CoV \ наляво (X \ Y + C \ дясно) = CoV \ наляво (X + х, \ Y + C \ дясно) = CoV \ наляво ( X, \ Y \ вдясно). $$

6. $ CoV \ наляво (a.Ход по + б \ Су + г \ дясно) = променлив \ cdot CoV \ наляво (X \ Y \ дясно) $.

9. Вариацията на сумата (разлика) от случайни величини е равна на сумата от техните отклонения, плюс (минус) два пъти ковариацията на тези случайни величини:

$$ D \ наляво (X \ ч Y \ дясно) = D \ наляво (X \ дясно) + D \ наляво (Y \ дясно) \ ч 2cov \ наляво (X \ Y \ дясно). $$

Пример 1. Дана корелация маса случаен вектор $ \ ляв (X, \ Y \ вдясно) $. Изчислете ковариация $ CoV \ наляво (X, \ Y \ вдясно) $.

$ \ Започнете
\ hline
X \ наклонена черта Y - -6 - 0 - 3, \\
\ hline
-2 - 0.1 - 0 - 0,2 \\
\ hline
0 - 0,05 - P_ - 0 \\
\ hline
0 - 1 - 0.2 - 0.05 \\
\ hline
7 - 0.1 - 0 - 0.1 \\
\ hline
\ Край $

Събития $ \ наляво (X = x_i, \ Y = y_j \ вдясно) $ образуват пълна група от събития, така че сумата от всички вероятности $ P_ $, посочени в таблицата трябва да са равни на 1. Тогава $ 0.1 + 0 + 0.2 + 0,05 + P_ + 0 + 0 + 0,2 + 0.05 + 0.1 + 0.1 + 0 = 1 $, следователно $ P_ = 0,2 $.

$ \ Започнете
\ hline
X \ наклонена черта Y - -6 - 0 - 3, \\
\ hline
-2 - 0.1 - 0 - 0,2 \\
\ hline
0 - 0.05 - 0.2 - 0 \\
\ hline
0 - 1 - 0.2 - 0.05 \\
\ hline
7 - 0.1 - 0 - 0.1 \\
\ hline
\ Край $

С помощта на формула $ P_ = \ сума _p_ $, да намерите номера на разпределение на случайна променлива $ X $.

$ \ Започнете
\ hline
X - -2 - 0 - 1-7 \\
\ hline
p_i - 0.3 - 0.25 - 0.25 - 0.2 \\
\ hline
\ Край $

$$ M \ наляво (X \ дясно) = \ сума ^ п _ = - 2 \ cdot 0,3 + 0 \ cdot 0,25 + 1 \ cdot 0,25 + 7 \ cdot 0,2 = 1,05 $. $

С помощта на формула $ q_ = \ сума _p_ $, ние откриваме, разпределението номер на случайна променлива $ Y $.

$$ M \ наляво (Y \ дясно) = \ сума ^ п _ = - 6 \ cdot 0,25 + 0 \ cdot 0,4 + 3 \ cdot 0,35 = -0,45 $$.

Тъй $ Р \ наляво (X = -2, \ Y = -6 \ дясно) = 0,1 \ пе 0,3 \ cdot 0,25 $, след това на случайни променливи $ X, \ Y $ са зависими.

Ние дефинираме на ковариация $ CoV \ \ наляво (X \ Y \ дясно) $ случайни променливи $ X, \ Y $ формула $ CoV \ лявата (X \ Y \ дясно) = М \ наляво (XY \ дясно) -М \ наляво (X \ вдясно) М \ ляв (Y \ вдясно) $. Математическият очакването на продукта на случайни променливи $ X, \ Y $ е:

$$ M \ наляво (XY \ дясно) = \ sum_x_iy_j> = 0,1 \ cdot \ наляво (-2 \ дясно) \ cdot \ наляво (-6 \ дясно) +0,2 \ cdot \ наляво (-2 \ дясно) \ cdot 3 + 0,05 \ cdot 1 \ cdot 3 + 0,1 \ cdot 7 \ cdot \ наляво (-6 \ дясно) +0,1 \ cdot 7 \ cdot 3 = -1.95. $$

След $ CoV \ наляво (X \ Y \ дясно) = М \ наляво (XY \ дясно) -М \ наляво (X \ дясно) M \ лявата (Y \ дясно) = - 1,95-1,05 \ cdot \ наляво (-0,45 \ вдясно) = -. 1,4775 $ Ако случайни променливи са независими, а след това им ковариация е нула. В нашия случай, $ CoV (X, Y) \ пе 0 $.

Коефициентът на корелация на случайните променливи $ X $ и $ Y $ е броят:

Ние списък на основните свойства на коефициент на корелация.

3. $ \ р \ ляв (X, \ Y \ дясно) = 0 $ за независим случайни променливи $ X $ и $ Y $.

6. $ \ наляво | \ р \ лявата (X \ Y \ дясно) \ полето | = 1 \ Leftrightarrow Y = a.Ход по + б $.

Преди се казва, че коефициентът на корелация $ \ р \ наляво (X, \ Y \ вдясно) $ отразява степента на линейна връзка между две случайни променливи $ X $ и $ Y $.

Когато $ \ р \ ляв (X, \ Y \ дясно)> 0 $ може да се заключи, че с увеличаване на случайна променлива $ X $ случайна променлива $ Y $ има тенденция да се увеличават. Това се нарича положителна корелация. Например, височината и теглото на лицето, свързано положителна корелация.

Когато $ \ р \ ляв (X, \ Y \ дясно)<0$ можно сделать вывод о том, что с ростом случайной величины $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению. Это называется отрицательной корреляционной зависимостью. Например, температура и время сохранности продуктов питания связаны между собой отрицательной корреляционной зависимостью.

Когато $ \ р \ ляв (X, \ Y \ дясно) = 0 $ случайни променливи $ X $ и $ Y $ нарича несвързани помежду си. Заслужава да се отбележи, че несвързани помежду си случайни променливи $ X $ и $ Y $ не означава тяхната статистическа независимост, се казва само, че има линейна връзка между тях.

Пример 2. Определяне $ \ р \ отляво на коефициент на корелация (X \ Y \ дясно) $ за двумерен случайна променлива $ \ лявата (X \ Y \ дясно) $ от Пример 1.

Коефициентът на корелация на случаен променливи $ X, \ Y $ равнява на $ r_ = = = -0134. $ От $ r_<0$, то с ростом $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению (отрицательная корреляционная зависимость).