Изграждане на матрица от линеен оператор - studopediya
2.1. Изграждане на матрица с дадена формула дисплей.
Да предположим, че картографирането определя по формулата
т.е. за координати на произволна първоначална вектор, определен от координатите на неговия образ. След това, вместо да се има предвид произволен вектор х вектор. намери пътя си, той ще бъде вектор. За да направите това във формулата, която определя образа на вектора, ние вярваме. ...,. По същия начин, ние откриваме изображения за ...,. От координатите на вектора на изображението е 1-тата колона на матрицата на линеен оператор, подобно координира следващите вектори - други колони. Да разгледаме следния пример.
Пример 1. Да приемем, че операторът е представен от формулата:
На първо място, ние доказваме, че тази карта е - наистина линеен оператор. Посочете сумата на векторите:
Сега, всяка координата на Полученият вектор може да бъде превърнато:
По същия начин, за постоянен коефициент:
За матрицата на линеен оператор, е необходимо, както е споменато по-горе, замени стойности X1 = 1, Х2 = 0, тогава x1 = 0, Х2 = 1. В този пример, снимки на модели вектори - съответно (3, 1) и (2, 1). Поради това, матрицата на оператора на линеен ще бъде:
По подобен начин за решаване на проблема и в продължение на 3 или повече променливи.
Ние изграждане оператор матрица. Чрез показване на вектора (1,0,0), ние получаваме (1,4, 1), съответно (0,1,0) става (2,1, -2), и вектора (0,0,1) - а (-1,1,3). линейна матрица оператор:
2.2. Генериране на матрицата в случаите, когато е известен източник и базисни вектори на системата, в която се показва.
При един система на N вектори, които формират основата и произволна система на N вектори (възможно е линейно зависим), след това ясно определени картографиране линеен оператор всеки вектор първо в подходящ вектор система на втората система.
Матрицата на този оператор може да се намери по два начина: чрез използване на инверсна матрица и използване на система от уравнения.
Да - матрица, в основата. По предположение, за всички индекси. N Тези уравнения могат да бъдат написани като единична матрица уравнение :. с колоните на матрицата - са вектори. и колоните на матрицата - вектори. След това матрицата може да се намери във формата.
Пример. Намерете матрицата на база картографиране линеен оператор
в вектори.
Тук. , , и получаваме:
Проверката се извършва чрез умножаване на получената матрица за всеки вектор :.
По същия начин може да се реши тези проблеми и да триизмерното пространство. Приложение (§5) има няколко възможности за такива задачи.
2.3. Други начини за намиране на матрицата на оператора.
Има и примери, където линейната оператора определя други начини, различни от тези, описани в т. 2.1 и 2.2.
Пример. Линейни оператори са при дясно и ляво вектор умножаване с фиксиран вектор в триизмерното пространство, което е, вида и дисплея. Ние се изгради една матрица на един от тези оператори .За това ние откриваме образите на трите основни вектори на линеен пространство. ,
Координати получени вектори могат да бъдат записани под формата на колона матрица на оператора.
По същия начин, може да се конструира матрица на линеен оператор:
Пример. Линейно диференциално оператор в пространството на полиноми от степен най-много п. Това пространство на измерение п + 1. Да вземем за основа на елементите. , ...,.
Матрицата на линеен оператор:
Линейни оператори могат да показват не само на крайния измерение на пространството, но и необятното пространство. По този начин, операторът на диференциация може да се разглежда като пространството на всички непрекъснатост. (В това пространство, без краен база). В този случай, очевидно, операторът не може да бъде определен краен матрица ред.