Равнобедрен и равностранен триъгълник
Равнобедрен и равностранен триъгълник.
7. Определяне на равнобедрен триъгълник е всеки, двете страни са равни.
Две равни страни се нарича странично, трети - база.
8. Определяне, след като триъгълник се нарича равностранен ако и трите страни са равни триъгълник.
Това е една особена форма на равнобедрен триъгълник.
Теорема 18. Височината на равнобедрен триъгълник, понижава до основата, едновременно ъглополовяща на ъгъла между равни страни, и средната ос на симетрия на основата.
Доказателство. Пропуснете височината на основата на равнобедрен триъгълник. Тя ще бъде разделена на две равни (на крак и хипотенуза) правоъгълни триъгълници. Ъглите А и С са също пресича височината на основата и на симетрия ос ще се счита през фигурите.
Също така, тази теорема може да се твърди, както следва:
Теорема 18.1. Медианата на равнобедрен триъгълник, понижава до основата, едновременно ъглополовяща на ъгъла между равни страни, височините и оста на симетрия на основата.
Теорема 18.2. Ъглополовяща на равнобедрен триъгълник, понижава до основата, е едновременно висока, медианата на основата и на оста на симетрия.
Теорема 18.3. Оста на симетрия на равнобедрен триъгълник е и ъглополовящата на ъгъла между равни страни и средна височина.
Доказателството на тези последици, също от равенството на триъгълници, която е разделена на равнобедрен триъгълник.
Теорема 19. Базата ъгли на равнобедрен триъгълник са равни.
Доказателство. Пропуснете височината на основата на равнобедрен триъгълник. Тя ще го разделя на две равни (в катет и хипотенузата) правоъгълен триъгълник, следователно съответните ъгли са равни, т.е. А ∠ = ∠ С
Признаците на равнобедрен триъгълник са от теорема 1 и нейните следствия на теорема 2.
Теорема 20. Ако две от четирите линии (височина, медиана и ъглополовяща, ос на симетрия) съвпадат, то триъгълникът е равнобедрен (и по този начин съвпадат и четирите линии).
Теорема 21. Ако някой от два ъгъла от един триъгълник са равни, то тогава е равнобедрен.
Доказателство: Както и в доказателство за пряка теорема, но с помощта на втори знак на равенство на триъгълници. Център на тежестта, и центровете на вписан кръга и точката на пресичане на надморската височина на равнобедрен триъгълник - всички лежат на неговата ос на симетрия, т.е. при надморска височина.
Равностранен триъгълник е равнобедрен, за всяка двойка на неговите страни. С оглед на равнопоставеността на всички свои страни равни и трите ъгли на триъгълника. Като се има предвид, че сумата на ъглите на всеки триъгълник е равен на два прави ъгъла, ние виждаме, че всеки един от ъглите на равностранен триъгълник е равен на 60 °. От друга страна, за да се гарантира равенството на всички страни на триъгълник, това е достатъчно, за да се увери, че две от трите му ъгли са равни на 60 °.
Теорема 22. В равностранен триъгълник все едно забележително място: на центъра на тежестта на центровете на вписаните и окръжности, височини пресечната точка (наречена ортоцентър на триъгълника).
Теорема 23. Ако две от четирите точки съвпадат, то триъгълникът е равностранен и като резултат, всичките четири мачбола, споменати.
В действителност, триъгълник ще се появи на изложеното по-горе, равнобедрен триъгълник по отношение на всяка двойка от страни, т.е. равностранен. Равностранен триъгълник се нарича още един равностранен триъгълник. Площта на равнобедрен триъгълник е равна на половината от продукта от квадрата на крило и на синуса на ъгъла между страните
Да разгледаме тази формула за равностранен триъгълник, докато алфа ъгъл е равен на 60 градуса. След това формулата ще се промени до следното:
Теорема d1. В равностранен триъгълник, медианата, прекарано от двете страни са равни.
Доказателство: Нека ABC - равнобедрен триъгълник (AC = BC), AK и BL - неговата средна. Тогава триъгълници АКБ и ALB са на втория въз основа на равенството на триъгълници. Те AB страна цяло частта на AL и BK са двете страни на една половина равнобедрен триъгълник, лабораторията ъгли и KBA са равни на ъглите в основата на равнобедрен триъгълник. Тъй като триъгълници са равни, техните страни AK и LB са равни. Но AK и LB - медиана на равнобедрен триъгълник, проведено в своята страна.
Теорема d2. В равнобедрен триъгълник ъглополовящата, проведено към страните са равни.
Доказателство: Нека ABC - равнобедрен триъгълник (AC = BC), AK и BL - неговата ъглополовяща. Триъгълниците АКБ и ALB са на втория въз основа на равенството на триъгълници. Те AB чести нежелани ъгли LAB и KBA са равни на ъглите в основата на равнобедрен триъгълник ъглите, Каб и LBA са двете ъгли половина в основата на равнобедрен триъгълник. Тъй като триъгълници са равни, техните страни AK и LB - разполовяване на ABC - равни. Това доказва теоремата.
d3 теорема. В разгара на равнобедрен триъгълник, понижава към страните са равни.
Доказателство: Нека ABC - равнобедрен триъгълник (AC = BC), AK и BL - височината й. Тогава ъглите на КАБ и ABL равен, тъй АКБ на ъгли и ALB линии и ъгли LAB и АБК, равна на ъглите в основата на равнобедрен триъгълник. Ето защо, триъгълници АКБ и ALB са на втория въз основа на равенството на триъгълници имат обща страна AB, ъгли на КАБ и LBA са равни по-горе, и в лабораторията ъгли и KBA са от ъглите на равнобедрен триъгълник. Ако триъгълници са равни, техните страни AK и BL е равен. QED.